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待ち行列のM/M/1モデルにおける平均滞在数Lwの導出

M/M/1の待ち行列内にj個の呼が存在する確率をPjとするとき、次のような状態遷移図を描くことができる。
   M/M/1モデルの状態遷移図
上の状態遷移図において、ある状態に注目したとき、その状態から他の状態へ遷移する確率と、他の状態からその状態へ遷移する確率が等しいことにより、次の漸化式が導ける。
   漸化式(1)
ここで、ρ=λ/μとおくと、上の漸化式は次のように書ける。
   漸化式(2)
この漸化式を解くと
   Pj=(ρ^j)*P0
となる。
ここで、ΣPj=1(全確率は1)に先ほどの式を代入して
   P0Σ(ρ^j)=1
Σ(ρ^j)は初項0,公比ρの無限等比級数なので、Σ(ρ^j)=1/(1-ρ)となり
   P0=1-ρ
これをPj=(ρ^j)P0に代入すると
   Pj=(1-ρ)(ρ^j)
よって、平均滞在数(サービス中の呼も含めた、待ち行列内に滞在する呼の数の平均値)Lwは
   Lw=ρ/(1-ρ)
となる。

※記事投稿時点では平均滞在数をNとしていましたが、情報処理技術者試験の参考書(ソフトウェア開発技術者 午後問題の重点対策)中の表記に合わせてLwに変更しました。

<トラヒック理論の講義ノート>

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